Question

如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC=BD，AD=2BD，设BD=a，求BC的长．

Answer

（1）由BD∥AC，得∠EAC=∠B；根据已知条件，易证得AB：AC和BD：AE的值相等，由此可根据SAS判定两个三角形相似．
（2）首先根据已知条件表示出AB、AD、AC的值，进而可由勾股定理判定∠D=∠E=90°；根据（1）得出的相似三角形的相似比，可表示出EC、AE的长，进而可在Rt△BEC中，根据勾股定理求出BC的长．
（1）证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，
∴∠DBA=∠CAE，
又∵==3，
∴△ABD∽△CAE；（4分）

（2）【解析】
∵AB=3AC=3BD，AD=2BD，
∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2，
∴∠D=90°，
由（1）得△ABD∽△CAE
∴∠E=∠D=90°，
∵AE=BD，EC=AD=BD，AB=3BD，
∴在Rt△BCE中，BC2=（AB+AE）2+EC2
=（3BD+BD）2+（BD）2=BD2=12a2，
∴BC=2a．（6分）