Question

已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD．
（1）求证：BE=CD；
（2）若M、N分别是BE和CD的中点，将△ADE绕点A按顺时针旋转，如图②所示，试证明在旋转过程中，△AMN是等腰三角形；
（3）试证明△AMN与△ABC和△ADE都相似．

Answer

（1）因为∠BAC=∠DAE，所以∠BAE=∠CAD，又因为AB=AC，AD=AE，利用SAS可证出△ABE≌△ACD，进而可得BE=CD；
（2）由（1）中△ABE≌△ACD，可得对应边、对应角相等，进而得出△ABM≌△ACN，即可得出结论；
（3）先由（2）中△ABM≌△ACN，可得∠BAM=∠CAN，所以∠MAN=∠BAC，又因为AM：AB=AN：AC，利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，证出△AMN∽△ABC；同理证出△ABC∽△ADE，即可得出△AMN∽△ABC∽△ADE．
证明：（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD．
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD；

（2）由（1）得△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，BE=CD．
∵M，N分别是BE，CD的中点，
∴BM=CN．
在△ABM与△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN，
∴AM=AN，
∴△AMN为等腰三角形；

（3）由（2）得△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，
∴∠BAM+∠BAN=∠CAN+∠BAN，
即∠MAN=∠BAC，
又∵AM=AN，AB=AC，
∴AM：AB=AN：AC，
∴△AMN∽△ABC；
∵AB=AC，AD=AE，
∴AB：AD=AC：AE，
又∵∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
∴△AMN∽△ABC∽△ADE．