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在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B(0,3).点P从点A出发,以每秒1...

在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B(0,3).点P从点A出发,以每秒1个单位的速度向右平移,点Q从点B出发,以每秒2个单位的速度向右平移,又P、Q两点同时出发.
(1)连接AQ,当△ABQ是直角三角形时,求点Q的坐标;
(2)当P、Q运动到某个位置时,如果沿着直线AQ翻折,点P恰好落在线段AB上,求这时∠AQP的度数;
(3)过点A作AC⊥AB,AC交射线PQ于点C,连接BC,D是BC的中点.在点P、Q的运动过程中,是否存在某时刻,使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形,若存在,试求出这时tan∠ABC的值;若不存在,试说明理由.manfen5.com 满分网
(1)由于∠ABQ<90°,若△ABQ是直角三角形,需要考虑两种情况: ①∠BAQ=90°,此时△BAQ∽△ABO,根据相似三角形所得比例线段,可求出BQ的长,即可得到Q点坐标; ②∠BQA=90°,此时四边形BOAQ是矩形,BQ=OA,由此可求出Q点坐标. (2)假设P点翻折到AB上时,落点为E,那么∠QAP=∠QAE,QE=QP;由于BQ∥OP,那么∠QAP=∠BQA=∠BAQ,即BQ=BA=5,此时P、Q运动了2.5s,所以AP=AE=,即E是AB的中点;分别过E、Q作BQ、OP的垂线,设垂足为F、H,易求EF=PH=,即可证得△QPH≌△QEF,得∠EQF=∠PQH,由此发现∠EQP=90°,而∠PQA=∠EQA,由此可求得∠AQP的度数. (3)假设存在这样的平行四边形,可分作两种情况考虑: ①点C在线段PQ上,可延长AC、BQ交于点F,由于DQ∥AC,因此DQ是△BCF的中位线,则FC=2DQ=2AC,过F作FH⊥x轴于H,由于∠BAC=90°,可证得△AOB∽△FHA,通过得到的比例线段,即可求出AF的长,进而可得到AC的长;在Rt△BAC中,已知了AC、BA的长,即可求出∠ABC的正切值; ②点C在PQ的延长线上,设AD、AC与BQ的交点分别为G、F,按照①的思路可证得AD=CQ=2AG,那么在相似三角形△CFQ和△AFG中,FC=2AF,即AC=3AF,AF的长在①中已求得,由此可得到AC的长,进而可求出∠ABC的正切值. 【解析】 (1)根据题意,可得:A(4,0)、B(0,3),AB=5. ⅰ)当∠BAQ=90°时,△AOB∽△BAQ, ∴.解得; ⅱ)当∠BQA=90°时,BQ=OA=4, ∴Q或Q(4,3).(4分) (2)令点P翻折后落在线段AB上的点E处, 则∠EAQ=∠PAQ,∠EQA=∠PQA,AE=AP,QE=QP; 又BQ∥OP, ∴∠PAQ=∠BQA,∴∠EAQ=∠BQA, 即AB=QB=5. ∴, ∴,即点E是AB的中点. 过点E作EF⊥BQ,垂足为点F,过点Q作QH⊥OP,垂足为点H, 则,,∴EF=PH. 又EQ=PQ,∠EFQ=∠PHQ=90°, ∴△EQF≌△PQH ∴∠EQF=∠PQH,从而∠PQE=90°. ∴∠AQP=∠AQE=45°.(8分) (3)当点C在线段PQ上时,延长BQ与AC的延长线交于点F, ∵AC⊥AB, ∴△AOB∽△FHA. ∴即, ∴. ∵DQ∥AC,DQ=AC,且D为BC中点, ∴FC=2DQ=2AC. ∴. 在Rt△BAC中,tan∠ABC=; 当点C在PQ的延长线上时,记BQ与AC的交点为F,记AD与BQ的交点为G, ∵CQ∥AD,CQ=AD且D为BC中点, ∴AD=CQ=2DG. ∴CQ=2AG=2PQ. 即:CQ:QP=2:1 又∵BQ∥OP ∴CF:AF=CQ:QP=2:1 ∴FC=2AF, 又∵FA=, ∴FC=, ∴. 在Rt△BAC中,tan∠ABC=.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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