Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y=-x+b与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．
（1）若直线y=-x+b平分矩形OABC的面积，求b的值；
（2）在（1）的条件下，当直线y=-x+b绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x轴分别交于点N、M，问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，将矩形OABC沿DE折叠，若点O落在边BC上，求出该点坐标；若不在边BC上，求将（1）中的直线沿y轴怎样平移，使矩形OABC沿平移后的直线折叠，点O恰好落在边BC上．

Answer

（1）根据直线y=-x+b平分矩形OABC的面积，知道其必过矩形的中心，然后求得矩形的中心坐标为（6，3），代入解析式即可求得b值；
（2）假设存在ON平分∠CNM的情况，分当直线PM与边BC和边OA相交和当直线PM与直线BC和x轴相交这两种情况求得DM的值就存在，否则就不存在；
（3）假设沿DE将矩形OABC折叠，点O落在边BC上O′处，连接PO′、OO′，得到△OPO′为等边三角形，从而得到∠OPD=30°，然后根据（2）知∠OPD＞30°，得到沿DE将矩形OABC折叠，点O不可能落在边BC上；若设沿直线y=-x+a将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O′处，连接P′O′、OO′，则有P′O′=OP′=a，在Rt△OPD和Rt△OAO′中，利用正切的定义求得a值即可得到将矩形OABC沿直线折叠，点O恰好落在边BC上；
【解析】
（1）∵直线y=-x+b平分矩形OABC的面积，
∴其必过矩形的中心
由题意得矩形的中心坐标为（6，3），
∴3=-×6+b
解得b=12；

（2）如图1假设存在ON平分∠CNM的情况
①当直线PM与边BC和边OA相交时，过O作OH⊥PM于H
∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，
∴OH=OC=6
由（1）知OP=12，
∴∠OPM=30°
∴OM=OP•tan30°=
当y=0时，由-x+12=0解得x=8，
∴OD=8
∴DM=8-；
②当直线PM与直线BC和x轴相交时
同上可得DM=8+（或由OM=MN解得）；

（3）如图2假设沿DE将矩形OABC折叠，点O落在边BC上O′处连接PO′、OO′，则有PO′=OP
由（1）得BC垂直平分OP，∴PO′=OO′
∴△OPO′为等边三角形，∴∠OPD=30°
而由（2）知∠OPD＞30°
所以沿DE将矩形OABC折叠，点O不可能落在边BC上；
如图3设沿直线y=-x+a将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O′处
连接P′O′、OO′，则有P′O′=OP′=a
由题意得：CP′=a-6，∠OPD=∠AO′O
在Rt△OPD中，tan∠OPD=
在Rt△OAO′中，tan∠AO′O=
∴=，即=，AO′=9
在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）2+92=a2
解得a=，12-=
所以将直线y=-x+12沿y轴向下平移个单位得直线y=-x+，将矩形OABC沿直线y=-x+折叠，点O恰好落在边BC上．