Question

如图，已知经过原点的抛物线y=-2x²+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．
（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；
（2）在x轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；
（3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式．

Answer

（1）令原抛物线的解析式中y=0，即可求得A点的坐标；
很显然P点位于线段AC的垂直平分线上，由此可判定△PAC是等腰三角形；
（2）根据平移的性质知：AO=CD=2，OC=AD=m；
（3）求△CDP的面积需要知道两个条件：底边CD及CD边上的高PH（过P作PH⊥x轴于H）；
因此本题要分两种情况讨论：①0＜m＜2时，P点在x轴上方；②m＞2时，P点位于x轴下方；
可分别表示出两种情况的CH的长即P点横坐标，根据抛物线的解析式即可得到P点的纵坐标；以CD为底，P点纵坐标的绝对值为高即可得到关于S、m的函数关系式．
【解析】
（1）令-2x2+4x=0，
得x1=0，x2=2
∴点A的坐标为（2，0）
△PCA是等腰三角形．

（2）存在．
OC=AD=m，OA=CD=2．

（3）如图，当0＜m＜2时，作PH⊥x轴于H，
设P（xP，yP）
∵A（2，0），C（m，0）
∴AC=2-m，
∴CH=
∴xP=OH=m+
把xP=代入y=-2x2+4x，
得yP=-m2+2
∵CD=OA=2
∴S=CD•HP=•2•（-m2+2）=-m2+2
如图，当m＞2时，作PH⊥x轴于H，
设P（xP，yP）
∵A（2，0），C（m，0）
∴AC=m-2，
∴AH=
∴xP=OH=2+
把xP=代入y=-2x2+4x，得
yP=-m2+2
∵CD=OA=2
∴S=CD•HP==m2-2．