Question

两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．
实验与论证
设旋转角∠A₁A_OB₁=α（α＜∠A₁A_OA₂），θ₃，θ₄，θ₅，θ₆所表示的角如图所示．

（1）用含α的式子表示角的度数：θ₃=______，θ₄=______，θ₅=______；
（2）图2中，连接A_oH时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A_oH垂直且被它平分的线段？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想
设正n边形A_OA₁A₂…A_n-1与正n边形A_OB₁B₂…B_n-1重合（其中A₁与B₁重合），现将正n边形A_OB₁B₂…B_n-1绕顶点A_o逆时针旋转α．
（3）试猜想在正n边形的情况下，是否存在以A₁为端点的线段被直线A_oH垂直且平分？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．
（4）设θ_n与上述“θ₃，θ₄，…”的意义一样，请直接写出θ_n的度数．

Answer

（1）由正三角形的性质得α+θ3=60°，再由正方形的性质得θ4=45°-（45°-α）=α，最后由正五边形的性质得θ5=108°-36°-36°-α=36°-α；
（2）存在，如在图1中直线AH垂直且平分的线段A2B2，△AA1A2≌△AB1B2，推得A2H=B1H，则点H在线段A2B2的垂直平分线上；由AA2=AB1，则点A在线段A2B2的垂直平分线上，从而得出直线AH垂直且平分的线段A2B2
（3）当n为奇数时，θn=-α；
当n为偶数时，θn=α
（4）多写几个总结规律：
当n为奇数时，直线AH垂直平分 ，
当n为偶数时，直线AH垂直平分
【解析】
（1）60°-α，α，36°-α

（2）存在．下面就所选图形的不同分别给出证明：
选图如，图中有直线AH垂直平分A2B2，证明如下：
方法一：
证明：∵△AA1A2与△AB1B2是全等的等边三角形
∴AA2=AB2
∴∠AA2B2=∠AB2A2
又∵∠AA2H=∠AB2H=60°
∴∠HA2B2=∠HB2A2
∴A2H=B2H，∴点H在线段A2B2的垂直平分线上
又∵AA2=AB2，
∴点A在线段A2B2的垂直平分线上
∴直线AH垂直平分A2B2
方法二：
证明：∵△AA1A2与△AB1B2是全等的等腰三角形
∴AA2=AB2
∴∠AA2B2=∠AB2A2
又∵∠AA2H=∠AB2H=45°
∴∠HA2B2=∠HB2A2
∴A2H=B2H，
在△AA2H与△AB2H中
∵AA2=AB2，
HA2=HB2，∠A0A2H=∠AB2H
∴△AA2H≌△AB2H
∴∠AA2H=∠B2A2H
∴AH是等腰三角形AA2B1的角平分线
∴直线AH垂直平分A2B2选图如，图中有直线AH垂直平分A2B2，
证明如下：
∵AB2=AA2∴∠AB2A2=∠AA2B2
又∵∠AB2B1=∠AA2A3
∴∠HB2A2=∠HA2B2
∴HB2=HA2
∴点H在线段A2B2的垂直平分线上
又∵AB2=AA2，
∴点A在线段A2B2的垂直平分线上
∴直线AH垂直平分A2B2

（3）存在．
当n为奇数时，直线AH垂直平分 ，
当n为偶数时，直线AH垂直平分 ．
（4）当n为奇数时，θn=-α；
当n为偶数时，θn=α．