Question

如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG=BC，B、E、C、G在一直线上．
（1）若BE=a，求DH的长；
（2）当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值．

Answer

（1）可通过构建直角三角形求解．连接FH，则FH∥BE且FH=BE，FH⊥CD．因此三角形DFH为直角三角形．
点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，那么DF=3a-a=2a，DF=2a，FH=a，根据勾股定理就求出了DH的长．
（2）设BE=x，△DHE的面积为y，通过三角形DHE的面积=三角形CDE的面积+梯形CDHG的面积-三角形EGH的面积，来得出关于x，y的函数关系式，然后根据函数的性质求出y取最小值时x的值，并求出此时y的值．
【解析】
（1）连接FH，则FH∥BE且FH=BE，
在Rt△DFH中，DF=3a-a=2a，FH=a，∠DFH=90°，
所以，DH==a；

（2）设BE=x，△DHE的面积为y，
依题意y=S△CDE+S梯形CDHG-S△EGH
=×3a×（3a-x）+×（3a+x）×x-×3a×x
=x2-ax+a2
y=x2-ax+a2=（x-a）2+a2
当x=a，即BE=BC，E是BC的中点时，y取最小值，△DHE的面积y的最小值为a2．