Question

如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（ ）

A．2
B．
C．
D．

Answer

中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知，CF+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD=PQ有最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时由直角三角形ABC的面积等于两直角边乘以的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高CD来求出，根据面积相等可得出CD的长，即为线段PQ长度的最小值．
【解析】
线段PQ长度的最小值时，PQ为圆的直径，
如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，

∵圆F与AB相切，∴FD⊥AB，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，
∴CF+FD＞CD，且PQ为圆F的直径，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，即CD为圆F的直径，
且S△ABC=BC•CA=CD•AB，
∴CD==．
故选B