Question

a＞b＞c是自然数，分别除以11的余数是2，7，9，那么（a+b+c）×（a-b）×（b-c）除以11的余数是？

Answer

可以假设a=11m+2，b=11n+7，c=11k+9，m，n，k为非负整数，且a＞b＞c．则（a+b+c）×（a-b）×（b-c）变形得到[11（m+n+k+1）+7][11（m-n-1）+6][11（n-k-1）+9]，则余数为 7×6×9÷11的余数．
【解析】
假设a=11m+2，b=11n+7，c=11k+9，m，n，k为非负整数，且a＞b＞c．
∵（a+b+c）×（a-b）×（b-c）
=（11m+11n+11k+11+7）（11m+2-11n-7）（11n+7-11k-9）
=[11（m+n+k+1）+7][11（m-n-1）+6][11（n-k-1）+9]，
∴（a+b+c）×（a-b）×（b-c）÷11的余数等于 7×6×9÷11的余数．
又∵7×6×9=378=11×34+4，
∴7×6×9÷11=34余4．
答：（a+b+c）×（a-b）×（b-c）除以11的余数是4．