Question

将1234567891011121314…依次写到1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是多少？

Answer

首先求出这个1997位数是从1开始，依次写到了701，继续写了702的前面两个数字，再根据每相邻9个数之和必可被9整除，然后由701÷9=77余8，即可得余数只能由后面8个数及70组成的数：即69469569669769869970070170除以9的余数决定，则可求得答案．
【解析】
∵从1开始，依次写到9，一共9个数字，组成一个9位数，
从1开始，依次写到99，一共9+2×90=189个数字，组成一个189位数，
从1开始，依次写到999，一共9+2×90+3×900=2889个数字，组成一个2889位数，
而2889＞1997，
∴将1234567891011121314…依次写到1997个数字，组成一个1997位数时，最后写出的一个数是三位数，
∵（1997-189）÷3=602余2，即三位数写了完整的602个，
又602+99=701，
∴从1开始，依次写到701，再写了702的前面两个数字，组成一个1997位数．
设相邻的9个数第一个为n，则其他分别为n+1，n+2，一直到n+8，
∵n+n+1+n+2+…n+8=9n+36，能被9整除，
∴每相邻9个数之和必可被9整除，
∵701÷9=77余8，
∴余数只能由后面8个数及70组成的数决定，
而69469569669769869970070170除以9的余数为7，
∴组成的这个1997位数除以9的余数为7．
答：此数除以9的余数是7．