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如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC:CA...

如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4:3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合),过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.
(1)求证:AC•CD=PC•BC;
(2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长;
(3)当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大?并求这个最大面积S.

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(1)由圆周角定理知∠A=∠P,而∠ACB=∠PCD=90°,故有△ABC∽△PCD⇒⇒AC•CD=PC•BC; (2)当点P运动到AB弧中点时,过点B作BE⊥PC于点E.由题意知∠PCB=45°,CE=BE,而又∠CAB=∠CPB,得tan∠CPB=tan∠CAB=.代入数值可求得PE的值,从而PC=PE+EC,由(1)知CD=PC,即可求出; (3)由题意知,S△PCD=PC•CD.由(1)可知,CD=PC.有S△PCD=PC2.故PC最大时,S△PCD取得最大值;而PC为直径时最大,故可求解. (1)证明:∵AB为直径, ∴∠ACB=90°. 又∵PC⊥CD, ∴∠PCD=90°. 而∠CAB=∠CPD, ∴△ABC∽△PDC. ∴. ∴AC•CD=PC•BC;(3分) (2)【解析】 当点P运动到AB弧中点时,过点B作BE⊥PC于点E. ∵AB为直径,AB=5,BC:CA=4:3, ∴BC=4. ∵P是的中点, ∴∠PCB=45°, ∴CE=BE=BC=2. 又∠CAB=∠CPB, ∴tan∠CPB=tan∠CAB=. ∴PE===. 从而PC=PE+EC=, 由(1)得CD=PC=(7分) (3)【解析】 当点P在AB上运动时,S△PCD=PC•CD.由(1)可知,CD=PC. ∴S△PCD=CD×PC=×PC×PC=PC2.故PC最大时,S△PCD取得最大值; 而PC为直径时最大, ∴S△PCD的最大值S=×52=.(10分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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