Question

已知：关于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0 （k是整数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），设y=x₂-x₁，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．

Answer

（1）根据一元二次方程定义得k≠0，再计算△=（4k+1）2-4k（3k+3），配方得△=（2k-1）2，而k是整数，则2k-1≠0，得到△=（2k-1）2＞0，根据△的意义即可得到方程有两个不相等的实数根；
（2）先根据求根公式求出一元二次方程kx2-（4k+1）x+3k+3=0 的解为x=3或x=1+，而k是整数，x1＜x2，则有x1=1+，x2=3，于是得到y=3-（1+）=2-．
（1）证明：k≠0，
△=（4k+1）2-4k（3k+3）
=（2k-1）2，
∵k是整数，
∴k≠，2k-1≠0，
∴△=（2k-1）2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）【解析】
y是k的函数．
解方程得，x==，
∴x=3或x=1+，
∵k是整数，
∴≤1，
∴1+≤2＜3．
又∵x1＜x2，
∴x1=1+，x2=3，
∴y=3-（1+）=2-．