Question

已知：如图，M是AB的中点，以AM为直径的⊙O与BP相切于点N，OP∥MN．
（1）求证：直线PA与⊙O相切；
（2）求tan∠AMN的值．

Answer

（1）连接ON，根据切线的性质可以得到∠PNO=90°，然后证明△AOP≌△NOP，则可以得到：∠OAP=∠ONP=90°，则结论得证；
（2）根据∠POA=∠AMN，则可以转化成求∠POA得正切值，然后根据正切的定义求PA与OA的比值即可．
（1）证明：连接ON，
∵BP与⊙O相切于点N，
∴ON⊥BP，∠ONP=90°．…（1分）
∵MN∥OP，
∴∠OMN=∠AOP，∠MNO=∠NOP．
又∵∠OMN=∠MNO，
∴∠AOP=∠NOP．
又∵OA=ON，OP公用，
∴△AOP≌△NOP．
∴∠OAP=∠ONP=90°．
∴直线PA与⊙O相切．…（2分）．

（2）【解析】
设⊙O的直径是2r．
∵M是AB的中点，∴BM=2r，OB=3r．
∴BN===2r．…（3分）
∵∠PAB=∠ONB=90°，
∴△PAB∽△ONB．
∴．…（4分）
∴tan∠AMN=tan∠AOP=．…（5分）