Question

已知：如图，在直角坐标系xOy中，直线y=2x与函数y=的图象在第一象限的交于A点，AM⊥x轴，垂足是M，把线段OA的垂直平分线记作l，线段AN与OM关于l对称．
（1）画出线段AN（保留画图痕迹）；
（2）求点A的坐标；
（3）求直线AN的函数解析式．

Answer

（1）作线段OA的垂直平分线l交OA与B点，交x轴于P点，连AP，截取AN=OM，则线段AN与OM关于l对称；
（2）解方程组即可得到点A的坐标；
（3）先根据勾股定理计算出OA==，再根据中垂线的性质得到OB=OA=，∠PBO=90°，易得Rt△POB∽Rt△AOM，则=，即=，求得OP=×=，确定点P（，0），设直线AN的函数解析式为y=kx+b，根据对称性得到直线AN必过点N，然后利用待定系数法求直线AN的解析式．
【解析】
（1）如图；

（2）解方程组，得或，
∵点A在第一象限，
∴点A（1，2）；

（3）设l与x轴交于点P，与OA交于点B，
∵OM=1，AM=2，AM⊥x轴
∴OA==，
∵PB垂直平分OA，
∴OB=OA=，∠PBO=90°，
∴Rt△POB∽Rt△AOM，
∴=，即=，
∴OP=×=．
∴点P（，0），
设直线AN的函数解析式为y=kx+b，
∵OM与AN关于PB对称，
∴直线AN必过点N，
把点A和P的坐标分别代入y=kx+b，得 
，
解得k=，b=．
∴直线AN的函数解析式为y=-x+，
∴直线AN的解析式是y=x+．