Question

已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，AD和BC交于点M．
（1）当△APC和△BPD面积之和最小时，直接写出AP：PB的值和∠AMC的度数；
（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α＜60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论．
（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°＜α＜120°，∠AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC的度数．

Answer

（1）设AP的长是x，然后利用x表示出两个三角形的面积的和，利用二次函数的性质即可求得x的值，从而求得两线段的比值；
（2）首先证得△APD≌△CPB，然后根据三角形的外角的性质即可求解；
（3）旋转的过程中，（2）中得两个三角形的全等关系不变，因而角度不会变化．
【解析】
（1）设AB=2a，AP的长是x，则BP=2a-x，
∴S△APC+S△PBD=x•x+（2a-x）•（2a-x）
=x2-ax+a2，
当x=-=-=a时△APC与△PBD的面积之和取最小值，
∴AP：PB=a：a=1
当AP=BP时，
AM=AC且AM平分∠CAB，
此时∠MAB=∠MBA=30°，
∠AMC=2∠MAB=2×30°=60°，
故答案为：1，60°；

（2）不变化．
证明：如图，点E在AP的延长线上，
∠BPE=α＜60°．（只要画出了符合题意的图形即可得分） 
∵∠BPC=∠CPD+60°，
∠DPA=∠CPD+60°，
∴∠BPC=∠DPA．
在△BPC和△DPA中，
又∵BP=DP，PC=PA，
∴△BPC≌△DPA．…（4分）
∴∠BCP=∠DAP．
∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC
=120°-∠BCP-∠MAC
=120°-（∠DAP+∠MAC）-∠PCA
=120°-∠PAC
=60°，且与α的大小无关．…（6分）

（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°．
理由：∵△APC是等边三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等边三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°．