Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥CD交AB于E，F是BC上一点，连接EF，CF=EF．
（1）证明：∠CDF=∠EDF；
（2）当tan∠ADE=时，求EF的长．

Answer

（1）过D作DM垂直于CB，垂足为M，由三个角为直角的四边形为矩形可得出四边形ABMD为矩形，再由邻边AD=AB，可得出四边形ABMD为正方形，根据正方形的边长相等可得出DM=DA，由CD垂直于DE，可得出∠CDM与∠EDM互余，又∠EDM与∠EDA互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，利用ASA可得出三角形CDM与三角形EDA全等，根据全等三角形的对应边相等可得出DC=DE，又DF=DF，CF=EF，利用SSS可得出三角形CFD与三角形EFD全等，由全等三角形的对应角相等可得证；
（2）由四边形ABMD为边长是6的正方形，得到四条边相等都等于6，又三角形CDM与三角形EDA全等，得到AE=CM，∠CDM=∠ADE，由tan∠ADE的值得到tan∠CDM的值，在直角三角形CDM中，利用锐角三角函数定义由DM的长求出CM的长，即为AE的长，设EF=CF=x，则有FB=8-x，EB=6-2=4，在直角三角形EFB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．
【解析】
（1）过D作DM⊥CB，垂足为M，

∴∠DMB=90°，
∵∠A=∠B=90°，
∴四边形ABMD为矩形，
∵AB=AD，
∴四边形ABMD为正方形，
∴AD=MD，
∵DE⊥DC，∴∠CDE=90°，
∴∠CDM+∠MDE=90°，
又∵∠EDA+∠MDE=90°，
∴∠CDM=∠EDA，
在△CDM和△EDA中，
，
∴△CDM≌△EDA（ASA），
∴CD=ED，
在△CFD和△EFD中，
，
∴△CFD≌△EFD（SSS），
∴∠CDF=∠EDF；
（2）∵正方形ABMD的边长为6，∴AD=AB=MB=DM=6，
∵△CDM≌△EDA，
∴AE=CM，∠CDM=∠EDA，
∴tan∠CDM=tan∠ADE=，
在Rt△CDM中，tan∠CDM==，
∴AE=CM=2，CB=CM+MB=2+6=8，
设CF=EF=x，FB=8-x，EB=AB-AE=4，
在Rt△EFB中，根据勾股定理得：EF2=FB2+EB2，
即x2=（8-x）2+42，解得：x=5，
则EF=5．