Question

如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．
（Ⅰ）当△PQB是直角三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）连接AQ，CP交于点M，则在点P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

Answer

（Ⅰ）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t；需要分类讨论：①当∠PQB=90°时和②当∠BPQ=90°时两种情况，然后在直角三角形中利用30°所对的直角边是斜边的一半可以求得t的值；
（Ⅱ）此题也需要分类讨论：①当点P，Q分别在线段AB，BC上运动时，利用等边三角形的性质和全等三角形（△ABQ≌△CAP）的判定与性质可以证得∠CMQ=60°不变；
②当点P，Q分别在射线AB，BC上运动时，利用等边三角形的性质、全等三角形（△PBC≌△ACQ）的判定与性质可以证得∠CMQ=120°不变．
【解析】
（Ⅰ）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t
①当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，得4-t=2t，解得，t=；
②当∠BPQ=90°，∵∠B=60°，∴BQ=2PB，得t=2（4-t），解得t=；
∴当AP=cm或AP=cm时，△PBQ为直角三角形--------------------------（4分）

（Ⅱ）①当点P，Q分别在线段AB，BC上运动时，∠CMQ=60°不变．
∵等边△ABC中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，
又由条件得AP=BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP（全等三角形的对应角相等），
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°--------（6分）
②当点P，Q分别在射线AB，BC上运动时，∠CMQ=120°不变．
∵在等边△ABC中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，
∴∠PBC=∠ACQ=120°，又由条件得BP=CQ，
∴△PBC≌△ACQ（SAS），
∴∠BPC=∠MQC（全等三角形的对应角相等），
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=120°（等量代换）-------------------------------------------------------------（10分）