Question

如图，抛物线C：y=ax²+bx+3与x轴的两个交点坐标为A（-3，0），B（-1，0）．
（Ⅰ）求抛物线C的解析式；
（Ⅱ）设抛物线C的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点E，交直线OM于点F．现保持抛物线C的形状和开口方向，使顶点沿直线OM移动（O为坐标原点）．在平移过程中，当抛物线与射线EF（含端点E、F）只有一个公共点时，求它的顶点横坐标的值或取值范围；
（Ⅲ）将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点．问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PMN的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）将A（-3，0）、B（-1，0），代入y=ax2+bx+3求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；
（Ⅱ）配方后即可确定其顶点坐标，然后利用平移规律确定函数的解析式，然后根据射线与抛物线有唯一的公共点求得h的值或取值范围即可；
（Ⅲ）将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2，设MN的解析式为y=kx+3（k≠0）．假设存在满足题设条件的点P（0，t），过P作GH∥x轴，分别过M，N作GH的垂线，垂足为G，H．根据△PMN的内心在y轴上，得到∠GMP=∠MPQ=∠QPN=∠HNP，从而△GMP∽△HNP，利用相似三角形对应边成比例即可列出有关t的方程求解即可．
【解析】
（Ⅰ）抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点
∴9a-3b+3=0且a-b+3=0
解得a=1，b=4
∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3

（Ⅱ）由（Ⅰ）配方得y=（x+2）2-1
∴抛物线的顶点M（-2，-1）
∴直线OM的解析式为y=x
于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h，h），
∴平移的抛物线解析式为y=（x-h）2+h，．

①当抛物线经过点E时，
∵E（0，9），
∴h2+h=9，
解得．
∴当 时，
平移的抛物线与射线EF只有一个公共点．

②当抛物线与射线EF只有一个公共点时，
由方程组y=（x-h）2+h，y=-2x+9．
得 x2+（-2h+2）x+h2+h-9=0，
∴△=（-2h+2）2-4（h2+h-9）=0，
解得h=4．
此时抛物线y=（x-4）2+2与射线EF唯一的公共点为（3，3），符合题意．
综上：平移的抛物线与射线EF只有一个公共点时，
顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或 ．

（Ⅲ）将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2，
设MN的解析式为y=kx+3（k≠0）．
假设存在满足题设条件的点P（0，t），过P作GH∥x轴，分别过M，N作GH的垂线，垂足为G，H．
∵△PMN的内心在y轴上，
∴∠GMP=∠MPQ=∠QPN=∠HNP，
∴△GMP∽△HNP，
∴=，
∴==
∴2kxE•xF=（t-3）（xE+xF）
由y=x2，y=kx+3．得x2-kx-3=0．
∴xE+xF=k，xE•xF=-3．
∴2k（-3）=（t-3）k，
∵k≠0，
∴t=-3．
∴y轴的负半轴上存在点P（0，-3），使△PMN的内心在y轴上．