Question

如图，一次函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．二次函数的图象与y轴的正半轴相交于点C，与这个一次函数的图象相交于点A、D，且sin∠ACB=．
（1）求点C的坐标；
（2）如果∠CDB=∠ACB，求这个二次函数的解析式．

Answer

（1）先求出A点坐标为（-1，0），B点坐标为（0，1），则OA=1，OB=1，AB=，再根据正弦的定义得sin∠ACB==，而AO=1，则AC=，然后根据勾股定理可计算出OC=3，从而确定点C的坐标为（0，3）；
（2）分类讨论：当点D在AB延长线上时，如图1，过点D作DE⊥x 轴，垂足为E，由于∠CDB=∠ACB，∠BAC=∠CAD，根据相似的判定得△ABC∽△ACD，则AD：AC=AC：AB，即AD：=：，
可计算出AD=5，易得ADE为等腰直角三角形，则DE=AE=AD=×5=5，OE=4，得到点D的坐标为（4，5），然后设一般式，利用待点系数法求过A（-1，0）、C（0，3）、D（4，5）的二次函数的解析式；当点D在射线BA上，如图2，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，与前面的解法相同．
【解析】
（1）对于y=x+1，令y=0，则x=-1；x=0，则y=1，
∴A点坐标为（-1，0），OA=1；B点坐标为（0，1），OB=1，
∴AB=，
在Rt△AOC中，∵sin∠ACB==，OA=1，
∴AC=，
∴OC=，
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）当点D在AB延长线上时，如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，
∵∠CDB=∠ACB，∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴AD：AC=AC：AB，即AD：=：，
∴AD=5，
∵DE∥BO，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴DE=AE=AD=×5=5，
∴OE=4，
∴点D的坐标为（4，5），
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+3，
∴，
∴解得，
∴二次函数解析式为y=-x2+x+3；
当点D在射线BA上，如图2，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，
∵∠CDB=∠ACB，∠CBA=∠DBC，
∴△BAC∽△BCD，
∴BC：BD=BA：BC，即2：BD=：2，
∴BD=2，
∴AD=DB-AB=2-=，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴DE=AE=AD=×=1
∴OE=OA+AE=2，
∴点D的坐标为（-2，-1），
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+3，
把D（-2，-1），A（-1，0）代入得，解得，
∴二次函数解析式为y=x2+4x+3．