Question

已知直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄，正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，正方形ABCD的面积为S．
（1）如图1，已知平行线间的距离均为m，求S．（用含有m的式子表示）
（2）如图2，改变平行线之间的距离，但仍使四边形ABCD为正方形，
①求证：h₁=h₃．
②求证：，
③若，求S关于h₁的函数关系式，并指出S随h₁变化的规律．

Answer

（1）根据过D点作EF⊥l1于E交l4于F，首先得出△ADE≌△DCF，再利用勾股定理得出S；
（2）①首先过A点作AP⊥l2于P，过C点作CQ⊥l3于Q，得出△ABP≌△CDQ，即可得出AP=CQ，即h1=h3，
②首先过D点作EF⊥l1于E交l4于F，则ED=h1+h2，DF=h3，进而得出△ADE≌△DCF，则AE=DF=h3，再利用勾股定理AD2=AE2+DE2，求出即可；
③利用，以及②中所求得出S的值即可．
【解析】

（1）如图1，过D点作EF⊥l1于E交l4于F，
则ED=2m，DF=m，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDF=90°，
∵∠FCD+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴AE=DF=m，
在Rt△ADE中由勾股定理可得：
AD2=AE2+DE2=m2+（2m）2=5m2，
∴S=AD2=5m2，

（2）如图2所示：
①过A点作AP⊥l2于P，过C点作CQ⊥l3于Q，
∵∠EAD+∠DAP=90°，
∠EAD=∠ADQ，
∴∠DAP+∠ADQ=90°，
∵∠CDQ+∠ADQ=90°，
∴∠DAP=∠DQC，
∵∠ABP+∠BAP=90°，∠BAP+∠DAP=90°，
∴∠ABP=∠QDC，
在△ABP和△CDQ中，
，
∴△ABP≌△CDQ（AAS），
∴AP=CQ，即h1=h3，

②过D点作EF⊥l1于E交l4于F，则ED=h1+h2，DF=h3，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDF=90°，
∵∠FCD+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
则AE=DF=h3，
在Rt△ADE中由勾股定理可得：AD2=AE2+DE2=+（h1+h2） 2，
又∵h1=h3，
∴S=AD2=（h1+h2） 2+，

③∵，
∴，
∴S=（h1+1-h1）2+，
=-h1+1，
=（h1-）2+，
又∵，
解得0＜h1＜，
∴当0＜h1＜时，S随h1的增大而减小；  
当h1=时，S取得最小值；
当＜h1＜时，S随h1的增大而增大．