Question

如图，已知抛物线C₁：y=a（x-2）²-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点A的横坐标是-1．
（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图（1），抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向左平移，平移后的抛物线记为C₃，C₃的顶点为M，当点P、M关于点A成中心对称时，求C₃的解析式y=a（x-h）²+k；
（3）如图（2），点Q是x轴负半轴上一动点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₄．抛物线C₄的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N的坐标．

Answer

（1）根据函数的解析式可得出顶点P的坐标为（2，-5），将点A的坐标代入函数解析式，可得出a的值；
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，先判断△PAH≌△MAG，继而得出点M的坐标，代入可得出C3的解析式．
（3）设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PR⊥NG于R，根据中心对称的知识可得出点E、H、R的坐标，分别表示出PN2、PE2、NE2，讨论即可得解．
【解析】
（1）由抛物线C1：y=a（x-2）2-5得顶点P的坐标为（2，-5）；
∵点A（-1，0）在抛物线C1上，
∴a（-3）2-5=0，
解得：．

（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，
∵点P、M关于点A成中心对称，
∴PM过点A，且PA=MA，
∴△PAH≌△MAG，
∴MG=PH=5，AG=AH=3．
∴顶点M的坐标为（-4，5），
∵抛物线C2与C1关于x轴对称，抛物线C3由C2平移得到，
∴抛物线C3的表达式．

（3）∵抛物线C4由C1绕x轴上的点Q旋转180°得到，
∴顶点N、P关于点Q成中心对称，
由（2）得点N的纵坐标为5，
设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PR⊥NG于R，
∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF=AB=2AH=6，
∴EG=3，点E坐标为（m-3，0），H坐标为（2，0），R坐标为（m，-5），
根据勾股定理，得PN2=NR2+PR2=m2-4m+104，PE2=PH2+HE2=m2-10m+50，NE2=52+32=34，
①当∠PNE=90°时，PN2+NE2=PE2，
解得m=，即N点坐标为（，5）．
②当∠PEN=90°时，PE2+NE2=PN2，
解得m=，即N点坐标为（，5）．
③∵PN＞NR=10＞NE，
∴∠NPE≠90°；
综上所得，当N点坐标为（，5）或（，5）时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形．