Question

如图：已知：AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？

Answer

（1）根据平行四边形的判定定理--有两组对边相互平行的四边形是平行四边形，推知四边形AEDF是平行四边形；然后由平行四边形的对角相等、对角线平分对角的性质以及角平分线的性质证得∠EAD=∠EDA；最后由等角对等边推知▱ABCD的邻边AE=AD；
（2）由正方形的四个角都是直角的性质知三角形ABC中∠BAC=90°．
【解析】
（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形（有两组对边相互平行的四边形是平行四边形），
∴∠EAF=∠EDF（平行四边形的对角相等）；
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠EDA（平行四边形的对角线平分对角），
∴AE=ED（等角对等边），
∴四边形AEDF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）；

（2）由（1）知，四边形AEDF是菱形，
∵当四边形AEDF是正方形时，∠EAF=90°，即∠BAC=90°，
∴△ABC的∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形．