Question

如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4．（1）求⊙A的半径；（2）求CE的长和△AFC的面积．

Answer

（1）先根据切割线定理求出CA的长，然后在Rt△ACD中，用勾股定理求出AB即⊙O的半径长；
（2）在Rt△BCE中，根据勾股定理，易求得CE的长；由切割线定理得CD2=CE•CF，由此可求出CF和EF的长；在△AFC中，已知底边CF的长，关键是求出CF边上的高；过A作AG⊥CF于G，通过相似三角形△AEG和△CEB得出的成比例线段可求出AG的长；由此可根据三角形的面积公式求得△AFC的面积．
【解析】
（1）四边形ABCD为矩形，AB=4；∴CD=4．
在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2；
∴（2+AD）2=42+AD2；
解得AD=3．

（2）过A点作AG⊥EF于G；
∵BC=3，BE=AB-AE=4-3=1．
∴CE===．
由CE•CF=CD2，得：
CF===．
又∵∠B=∠AGE=90°，∠BEC=∠GEA，
∴△BCE∽△GAE；
∴，即=．
∴AG=．
∴S△AFC=CF•AG=××=．