Question

如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则sin∠FCD=（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

由四边形ABCD为正方形，得到四个内角为直角，四条边相等，可得出AD与BC都与半圆相切，利用切线长定理得到FA=FE，CB=CE，设正方形的边长为4a，FA=FE=x，由FE+FC表示出EC，由AD-AF表示出FD，在直角三角形FDC中，利用勾股定理列出关系式，用a表示出x，进而用a表示出FD与FC，利用锐角三角函数定义即可求出sin∠FCD的值．
【解析】
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=BC=CD=AD，
∴AD与BC都与半圆O相切，又CF与半圆相切，
∴AF=EF，CB=CE，
设AB=BC=CD=AD=4a，AF=EF=x，
∴FC=EF+EC=4a+x，FD=AD-AF=4a-x，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：FC2=FD2+CD2，
∴（4a+x）2=（4a-x）2+（4a）2，
整理得：x=a，
∴FC=4a+x=5a，FD=4a-x=3a，
∴在Rt△DFC中，sin∠FCD==．
故选B