Question

如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论为（ ）  
①BF=2OH；②∠CHF=45°；③BC=4GH；④DH²=HE•HB．

A．①③④
B．①②④
C．①②③
D．②③④

Answer

①首先可证得△BCE≌△DCF，继而可求得∠EHF=90°，利用等腰三角形中的三线合一的性质，可证得DH=FH，又由OB=OD，即可证得OH是△DBF的中位线，根据三角形中位线的性质，即可判定BF=2OH；
②由①易求得∠HFC=67.5°，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，易证得CH=HF，即可求得∠HCF=∠HFC，继而求得∠CHF=45°；
③由三角形中位线的性质，可证得GH=CF=CE＜CG，CG=BC，可得BC＞4GH；
④易证得△DHE∽△BHD，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得DH2=HE•HB．
【解析】
①∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠CDF=∠CBE，
∵∠CDF+∠F=90°，
∴∠CBE+∠F=90°，
∴∠BHF=90°，
∴BH⊥DF，
∵BE平分∠DBC，
∴DH=HF，
∵OB=OD，
∴OH是△DBF的中位线，
∴OH∥BF
∴OH= BF，
即BF=2OH；
故正确；
②∵CE=CF，∠ECF=90°，
∴∠EFC=45°，
∵∠HFE=22.5°，
∴∠HFC=∠HFE+∠EFC=67.5°，
∵DH=FH，∠DCF=90°，
∴CH=FH=DF，
∴∠HCF=∠HFC=67.5°，
∴∠CHF=180°-∠HCF-∠HFC=45°；
故正确；
③∵OH是△BFD的中位线，
∴OG，GH分别是△DBC与△DCF的中位线，
∴DG=CG=BC，GH=CF，
∵CE=CF，
∴GH=CF=CE，
∵CE＜CG=BC，
∴GH＜BC，
即BC＞4GH，
故错误；
④∵∠DBF=45°，BE是∠DBF的平分线，
∴∠DBH=22.5°，
∵DE=EF，
∴∠CDF=∠CEF=22.5°，
∴∠DBH=∠CDF，
∵∠BHD=∠BHD，
∴△DHE∽△BHD，
∴DH：BH=HE：DH，
∴DH2=HE•HB，
故正确；
所以①②④正确．
故选B．