Question

如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，底部宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式（不必写x的取值范围）；
（2）若要搭建一个矩形支架AD-DC-CB（由三段组成）使C、D在抛物线上，A、B在地面OM上，则这个支架总长L的最大值是多少米？

Answer

（1）先根据所建坐标系求出顶点P的坐标，再设解析式为顶点式，把原点O的坐标代入，运用待定系数即可求出解析式；
（2）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A点坐标为（m，0），用含m的式子表示三段的长，再求其和的表达式，然后运用函数的性质求解．
【解析】
（1）∵某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，
∴顶点P的纵坐标为6，
又∵底部宽度OM为12米，
∴顶点P的横坐标也为6，
∴P（6，6）．
设抛物线的解析式为：y=a（x-6）2+6．
∵抛物线y=a（x-6）2+6经过点（0，0），
∴0=a（0-6）2+6，解得a=-．
∴抛物线解析式为：y=-（x-6）2+6，即y=-x2+2x；

（2）设A（m，0），则B（12-m，0），C（12-m，-m2+2m），D（m，-m2+2m）．
则“支撑架”总长：AD+DC+CB=（-m2+2m）+（12-2m）+（-m2+2m）
=-m2+2m+12
=-（m-3）2+15．
∵此二次函数的图象开口向下．
∴当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．