Question

抛物线P：y=ax²+b （a＜0、b＞0）与x轴相交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．将抛物线P关于x轴作轴对称变换，再将变换后的抛物线向右平移m个单位（m＞0），得到新抛物线P₁，其顶点为D，与x轴相交于E、F两点（F在E左侧），与y轴相交于点G．

（1）当a=-1，b=2，①抛物线P₁过原点时，直接写出抛物线P₁解析式；②点D在抛物线P上时，直接写出抛物线P₁的解析式；
（2）如图2，当抛物线P₁过点B时，若四边形ADEC为矩形时，请求出a和b应满足的关系式；
（3）当a=-1，b=2时，若△OFG和△OGE相似，求m的值．

Answer

（1）把a、b的值代入得到抛物线P的解析式，写出关于x轴对称并向右平移m个单位的抛物线解析式，①把原点坐标代入进行计算即可求出抛物线P1解析式；
②把点D的坐标代入抛物线P的解析式求出m的值，从而得解；
（2）根据抛物线解析式求出点B、C的坐标，从而得到OB、OC的长度，再根据勾股定理求出BC的长度，然后根据抛物线的对称性以及矩形的对角线互相平分且相等列式整理即可得到ab的关系；
（3）根据用m表示的抛物线P1解析式求出OG的长度，再根据平移表示出OE、OF的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到m的值．
【解析】
（1）∵a=-1，b=2，
∴抛物线P：y=-x2+2，
∵抛物线P关于x轴对称，再向右平移m个单位得到抛物线P1，
∴抛物线P1的解析式为y=（x-m）2-2，
①抛物线P1过原点，则（0-m）2-2=0，
解得m=，
所以，抛物线P1解析式为y=（x-）2-2；
②∵抛物线P1的顶点D（m，-2）在抛物线P上，
∴-m2+2=-2，
解得m=2，
∴抛物线P1解析式为y=（x-2）2-2；

（2）令y=0，则ax2+b=0，
解得x=，
令x=0，则y=b，
∴点B（，0），C（0，b），
∴OB=，OC=b，
在Rt△BOC中，BC==，
根据对称性可得AB=BE，CB=BD，且C、B、D在同一直线上，
∴四边形ADEC为平行四边形，
要使四边形ADEC为矩形，则AE=CD，
即4×=2×，
整理得，-=-+b2，
所以，ab=-3；

（3））∵a=-1，b=2，
∴抛物线P：y=-x2+2，
令y=0，则-x2+2=0，
解得x=±，
∴点A（-，0）点B（，0），
∵抛物线P关于x轴对称，再向右平移m个单位得到抛物线P1，
∴抛物线P1的解析式为y=（x-m）2-2，
点E（+m，0），点F（-+m），
令x=0，则y=（0-m）2-2=m2-2，
∴点G的坐标为（0，m2-2），
∴OE=+m，OF=|-+m|，OG=|m2-2|，
∵△OFG和△OGE相似，
∴=，
∴OG2=OE•OF，
∴（m2-2）2=（+m）•|-+m|=|m2-2|，
整理得，m2-2=1或m2-2=-1，
解得m=或m=1．