Question

已知一次函数y=x+m（O＜m≤1）的图象为直线l，直线l绕原点O旋转180°后得直线l′，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-，-1）、B（，-1）、C（O，2）．
（1）求直线l′的解析式（可以含m）；
（2）如图，l、l′分别与△ABC的两边交于E、F、G、H，四边形EFGH的面积记为S，试求m与S的关系式，并求S的变化范围；
（3）若m=1，当△ABC分别沿直线y=x与y=x平移时，判断△ABC介于直线l，l′之间部分的面积是否改变？若不变请指出来；若改变请直接写出面积变化的范围．（本小题不必说明理由）

Answer

（1）先在直线l上取两点，再分别得出这两点绕原点O旋转180°后的对应点，然后运用待定系数法即可求出l′的解析式；
（2）先运用等边三角形的性质求出EF、GH的长度，再根据梯形的面积公式求解；
（3）根据平移的知识可知：沿y=x平移时，面积不变；沿y=x平移时，面积改变，设其面积为S'．显然，如果△ABC与l、l′没有交点，则面积S′取最小值0；由于m=1时，△ABC介于直线l，l′之间的部分是一个梯形，l与l′之间的距离是1，即梯形的高是1，则当EF+GH取最大值时，S′有最大值，此时直线l与l′中有一条过点C，且F、G落在△ABC的同一边上，可求S′=，则0≤S'≤．
【解析】
（1）∵一次函数y=x+m（O＜m≤1）与x轴交于点M（-m，0），与y轴交于点N（0，m），
∴点M、N绕原点O旋转180°后的对应点M′（m，0），与y轴交于点N（0，-m），
由题意，知M′、N′在直线l′上，
运用待定系数法易得直线l′的解析式为y=-m；

（2）∵A（-，-1）、C（O，2），∴直线AC的解析式为y=x+2，
又∵直线l的解析式为y=x+m，直线l′的解析式为y=-m，
∴l∥l′∥AC．
∵A（-，-1）、B（，-1）、C（O，2），
∴AB=BC=CA=2，
∴△ABC是等边三角形．
∵当y=-1时，x+m=-1，x=，∴E（，-1），BE=-=，
当y=-1时，x-m=-1，x=，∴H（，-1），BH=-=，
∵l∥AC，△ABC是等边三角形，∴△BEF是等边三角形，EF=BE=，
同理，HG=BH=．
过点O作OD⊥MN于D，则2OD是梯形EFGH的高．
∵点M（-m，0），点N（0，m），∴MN=．
在△OMN中，由面积公式，得OD==m，∴2OD=m，
∴梯形EFGH的面积S=（EF+GH）•2OD=m（+）=，
∵＞0，
∴S随m的增大而增大，
又∵0＜m≤1，
∴0＜S≤；

（3）如果△ABC沿直线y=x平移，由平移的知识可知面积不变；
如果△ABC沿直线y=x平移，面积改变，设其面积为S'，
易知S′最小值为0，S′取最大值时，直线l与l′中有一条过点C，且F、G落在△ABC的同一边上，
如图所示，此时求得S'=．
则0≤S'≤．