Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．
（1）试求sin∠MCH的值；
（2）求证：∠ABM=∠CAH；
（3）若D是边AB上的点，且使△AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为______

Answer

（1）根据已知条件“M是边AC的中点”知AM=MC=1；在直角三角形MBC中利用勾股定理求得MB=，由∠HCB+∠HBC=∠CMH+∠MCH=90°求得∠MCH=∠MBC；所以sin∠MCH=；
（2）在Rt△MHC中，利用边角关系求得MH的值，再在Rt△CBM中利用射影定理求得；然后根据SAS判定△AMH∽△BMA；最后由相似三角形的对应角相等证明∠ABM=∠CAH；
（3）分三种情况讨论：①AD为底边时，AD的长度；②HD为底边时，AD的长度；③AH为底边时，AD的长度．
【解析】
（1）在△MBC中，∠MCB=90°，BC=2，
又∵M是边AC的中点，
∴AM=MC=BC=1，（1分）
∴MB=，（1分）
又CH⊥BM于H，则∠MHC=90°，
∴∠MCH=∠MBC，（1分）
∴sin∠MCH=．（1分）

（2）在△MHC中，．（1分）
∴AM2=MC2=MH•MB，
即，（2分）
又∵∠AMH=∠BMA，
∴△AMH∽△BMA，（1分）
∴∠ABM=∠CAH．（1分）

（3）∵△AMH∽△BMA，
∴=，
在Rt△BMC中，BM==，
在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴AH=×AB=×2=，
∵∠ABM=∠CAH，∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠HAD=∠MCH，
①AD为底边时，如图1，AD=2AHcos∠HAD，
∵sin∠MCH=，
∴cos∠HAD==，
∴AD=2××=；
②HD为底边时，如图2，AD=AH=；
③AH为底边时，AD=AH÷cos∠HAD=×÷=×=．
故AD的长为：，或．