Question

如图1，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若矩形EFMN的顶点F、M在位于x轴上方的抛物线上，一边EN在x轴上（如图2）．设点E的坐标为（x，0），矩形EFMN的周长为L，求L的最大值及此时点E的坐标；
（3）在（2）的前提下（即当L取得最大值时），在抛物线对称轴上是否存在一点P，使△PMN沿直线PN折叠后，点M刚好落在y轴上？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用交点式假设出二次函数解析式，求出即可；
（2）利用L=2EN+2EF=4（1-x）+2（-x2+2x+3），有二次函数的最值求法得出答案；
（3）首先设存在满足条件的点P（1，y），进而利用勾股定理得出PM2+PN2=MN2，即可得出y的值，进而得出P点坐标．
（1）【解析】
由题意可设抛物线为y=a（x+1）（x-3），
抛物线过点（0，3），
∴3=a（0+1）（0-3），
解得：a=-1，
抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3），
即：y=-x2+2x+3；

（2）【解析】
由（1）得抛物线的对称轴为直线x=1，
∵E（x，0），
∴F（x，-x2+2x+3），EN=2（1-x），
∴L=2EN+2EF=4（1-x）+2（-x2+2x+3），
化简得  l=-2x2+10，
∵-2＜0，
∴当x=0时，L取得最大值是10，
此时点E的坐标是（0，0）；

（3）【解析】
由（2）得：E（0，0），F（0，3），M（2，3），N（2，0），
设存在满足条件的点P（1，y），
并设折叠后点M的对应点为M1，
∴∠NPM=∠NPM1=90°，PM=PM1，
PG=3-y，GM=1，PH=|y|，HN=1，
∵∠NPM=90°，
∴PM2+PN2=MN2，
∴（3-y）2+12+y2+12=32，
解得：，，
∴点P的坐标为（1，）或（1，），
当点P的坐标为（1，）时，
连接PC，
∵PG是CM的垂直平分线，
∴PC=PM，
∵PM=PM1，∴PC=PM=PM1，
∴∠M1CM=90°，
∴点M1在y轴上，
同理可得当点P的坐标为（1，）时，点M1也在y轴上，
故存在满足条件的点P，点P的坐标为（1，）或（1，）．