Question

如图，菱形ABCD的顶点A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．
（1）求抛物线对应的函数关系式，并说明此抛物线一定过点C、D；
（2）若M点是该抛物线上位于C、D之间的一动点，求△CDM面积的最大值．

Answer

（1）把二次函数的解析式化为顶点式y=a（x-h）2+m，因为顶点在直线上，所以h=，然后再把点B的坐标代入其中求出m的值即可得到二次函数的解析式．再利用A和B的坐标得出线段OA，OB的长，利用勾股定理求出AB，又四边形为菱形得出它的四条边长，从而得出点C和点D的坐标，分别把两点的横坐标代入二次函数的解析式中求出y的值，从而判断出抛物线一定过点C、D．
（2）先利用点C和点D的坐标求出直线CD的解析式，设出M的横坐标为t，因为MN∥y轴，所以N的横坐标也为t，分别把两点的横坐标代入到抛物线和直线CD的解析式中表示出它们的纵坐标，让其纵坐标相减即可得到MN的长l与t的二次函数关系式，求出t=-=时MN有最大值为，然后把MN当作三角形CMN和三角形DMN的公共底，分别表示出三角形CMN和三角形DMN的面积，两三角形面积相加即为三角形CDM的面积，因为三角形CMN和三角形DMN的高之和为定值，所以当三角形的底MN取最大值时三角形CDM的面积最大．
【解析】
（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为，
∴，
∴，（2分）
∴所求函数关系式为：，
在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．
当x=5时，，
当x=2时，，
∴点C和点D在所求抛物线上；

（2）设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，
解得：．
∴，（6分）
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t．
则，，
∴，
∵，
∴当时，，