Question

如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B₂D₁C₁的面积为S₁，△B₃D₂C₂的面积为S₂，…，△B_n+1D_nC_n的面积为S_n，则S₂=    ；S_n=    ．（用含n的式子表示）

Answer

由三角形的相似性可求得S2、S3、S4的值，则Sn的值也可用含n的式子表示出来．
【解析】
由于各三角形为等边三角形，且各边长为2，过各三角形的顶点B1、B2、B3…向对边作垂线，垂足为M1、M2、M3，
∵△AB1C1是等边三角形，
∴AD1=AC1•sin60°=2×=，
∵△B1C1B2也是等边三角形，
∴C1B1是∠AC1B2的角平分线，
∴AD1=B2D1=，
故S1=S△B2C1A-S△AC1D1=×2×-×2×=；
S2=S△B3C2A-S△AC2D2=×4×-×4×=；
作AB∥B1C1，使AB=AB1，连接BB1，则B2，B3，…Bn在一条直线上．
∵Bn Cn∥AB，
∴==，
∴BnDn=•AD=，
则DnCn=2-BnDn=2-=．
△BnCnBn+1是边长是2的等边三角形，因而面积是：．
△Bn+1DnCn面积为Sn=•=•=．
即第n个图形的面积Sn=．