Question

如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=74°，∠BEQ=30°；在点F处测得∠AFP=60°，∠BFQ=60°，EF=1km．
（1）判断AB，AE的数量关系，并说明理由；
（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）．
（参考数据：≈1.73，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）

Answer

（1）根据SAS即可证明△AEF≌△ABF，得到AB=AE；
（2）作AH⊥PQ，垂足为H．设AE=x，在直角△AHF，直角△AEP中，利用三角函数表示出HE与HF，从而可得到关于x的方程，解方程即可得解．
【解析】
（1）相等．   
理由如下：
∵∠BEQ=30°，∠BFQ=60°，
∴∠EBF=30°，EF=BF．                         
又∵∠AFP=60°，∴∠BFA=60°．
在△AEF与△ABF中，
EF=BF，∠AFE=∠AFB，AF=AF，
∴△AEF≌△ABF，
∴AB=AE．                                    

（2）方法一：作AH⊥PQ，垂足为H．
设AE=x，
则AH=xsin74°，HE=xcos74°，
HF=xcos74°+1．                                
Rt△AHF中，AH=HF•tan60°，
∴xsin74°=（xcos74°+1）•tan60°，
即0.96x=（0.28x+1）×1.73，
解得x≈3.6，即AB≈3.6．
答：两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km．          
方法二：设AF与BE的交点为G．
在Rt△EGF中，∵EF=1，∴EG=．             
在Rt△AEG中，
∠AEG=76°，AE=EG÷cos76°=÷0.24≈3.6km，
∵AE=AB，
∴两个岛屿A和B之间的距离是3.6km，
答：两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km．