Question

如图：在△ABC中，BC=2AB=4，AD为边BC上的中线，E、F分别为BC、AB上的动点，且CE=BF，EF与AD交于点G．FH⊥AG于H
（1）①如图1，当∠B=90°时，FG______EG；GH=______

Answer

（1）①由条件可以求出AB=BD，AF=DE，从而得出∠BAD=∠BDA=45°，求出AD的值，作FQ∥BC，利用平行线的性质得出AF=FQ，根据等腰三角形的性质可以得出AH=HQ，可以证明△FQG≌△EDG，FG=EG，通过计算可以求出GH=．
②）由条件可以求出AB=BD，AF=DE，从而得出∠BAD=∠BDA=60°，求出AD的值，作FR∥BC，利用平行线的性质得出AF=FR，根据等腰三角形的性质可以得出AH=HR，可以证明△FRG≌△EDG，FG=EG，通过计算可以求出GH=1．
③）由条件可以求出AB=BD，AF=DE，从而得出∠BAD=∠BDA=45°，求出AD的值，作FS∥BC，利用平行线的性质得出AF=FS，根据等腰三角形的性质可以得出AH=HS，可以证明△FSG≌△EDG，FG=EG，通过计算可以求出GH=AD．
（2）作EM⊥AD的延长线于M，由条件可以知道∠1=∠3，有∠2=∠3，AF=DE，可以证明Rt△AHF≌△EMD，得出FH=EM，进而可以得出△FHG≌△EMG，HG=GM，FG=GE，进而得出GH=AD．
【解析】
（1）①∵AD为边BC上的中线，
∴BD=DC=BC，
∵BC=2AB=4，
∴BD=DC=AB=2，
∴∠BAD=∠BDA．
∵∠B=90°，
∴由勾股定理，得AD=2，
作FQ∥BC，交AD于Q，
∴∠BDA=∠AQF，
∴∠BAD=∠AQF，
∴AF=FQ，
∵FH⊥AG，
∴AH=HQ，
∵CE=BF，
∴AF=DE，
∴△FQG≌△EDG，
∴FG=EG，QG=GD，
∵AH=HQ，
∴HG=AD=，
②∵AD为边BC上的中线，
∴BD=DC=BC，
∵BC=2AB=4，
∴BD=DC=AB=2，
∵∠B=60°，
∴△AFR是等边三角形，
∴AD=2，
作FR∥BC，交AD于Q，
∴∠BDA=∠ARF，∠FGR=∠GDE，∠FGR=∠DGE，
∴∠BAD=∠ARF，
∴AF=FR，
∵FH⊥AG，
∴AH=HR，
∵CE=BF，
∴AF=DE，
∴△FRG≌△EDG，
∴FG=EG，RG=GD，
∵AH=HR，
∴HG=AD=1，
③∵AD为边BC上的中线，
∴BD=DC=BC，
∵BC=2AB=4，
∴BD=DC=AB=2，
∴∠BAD=∠BDA
作FS∥BC，交AD于Q，
∴∠BDA=∠ASF，∠FGS=∠GDE，∠FGS=∠DGE，
∴∠BAD=∠ASF，
∴AF=FS，
∵FH⊥AG，
∴AH=HS，
∵CE=BF，
∴AF=DE，
∴△FSG≌△EDG，
∴FG=EG，SG=GD，
∵AH=HS，
∴HG=AD，

（2）∵AD为边BC上的中线，
∴BD=DC=BC，
∵BC=2AB=4，
∴BD=DC=AB=2，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3
∵CE=BF，
∴AF=ED，
作EM⊥AD的延长线于M，
∴∠M=90°，
∵FH⊥AG，
∴∠AHF=∠GHF=∠M=90°，
∴Rt△AHF≌△EMD
∴FH=EM，
∵∠FGH=∠EGM，
∴△FHG≌△EMG，
∴HG=GM，FG=GE
∵AD=DM+HD，
∴AD=DG+GM+HD，
∴AD=DG+HD+DG+HD，
∴AD=2（DG+HD）
∴AD=2HG
即HG=AD．