Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点 B（b，t）在直线x=b上运动，点D、E、F分别为OB、0A、AB的中点，其中b是大于零的常数．
（1）判断四边形DEFB的形状．并证明你的结论；
（2）试求四边形DEFB的面积S与b的关系式；
（3）设直线x=b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能．求出t的值；若不能，说明理由．

Answer

（1）四边形DEFB是平行四边形．利用DE、EF为△OAB的中位线证明平行四边形；
（2）根据DE、EF为△OAB的中位线可知，S△AEF=S△ODE=S△AOB，利用S=S△AOB-S△AEF-S△ODE求S与b的关系式；
（3）当∠ABO=90°时，四边形DEFB是矩形，由Rt△OCB∽Rt△ABO，根据相似比得OB2=OA•BC，由勾股定理得OB2=BC2+OC2，利用b、t分别表示线段的长，列方程求解．
【解析】
（1）四边形DEFB是平行四边形．
证明：∵D、E分别是OB、OA的中点，
∴DE∥AB，同理，EF∥OB，
∴四边形DEFB是平行四边形；

（2）解法一：∵S△AOB=×8×b=4b，
由（1）得EF∥OB，∴△AEF∽△AOB，
∴=（）2，即S△AEF=S△AOB=b，同理S△ODE=b，
∴S=S△AOB-S△AEF-S△ODE=4b-b-b=2b，即S=2b（b＞0）；
解法二：如图，连接BE，S△AOB=×8×b=4b，
∵E、F分别为OA、AB的中点，
∴S△AEF=S△AEB=S△AOB=b，
同理S△EOD=b，
∴S=S△AOB-S△AEF-S△ODE=4b-b-b=2b，
即S=2b（b＞0）；

（3）解法一：以E为圆心，OA长为直径的圆记为⊙E，
①当直线x=b与⊙E相切或相交时，若点B是切点或交点，则∠ABO=90°，由（1）知，四边形DEFB是矩形，
此时0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC，
∴=，即OB2=OA•BC=8t，
在Rt△OBC中，OB2=BC2+OC2=t2+b2，
∴t2+b2=8t，
∴t2-8t+b2=0，
解得t=4±，
②当直线x=b与⊙E相离时，∠ABO≠90°，
∴四边形DEFB不是矩形，
综上所述：当0＜b≤4时，四边形DEFB是矩形，这时，t=4±，当b＞4时，四边形DEFB不是矩形；
解法二：由（1）知，当∠ABO=90°时，四边形DEFB是矩形，
∵∠COB+∠AOB=90°，∠OAB+∠AOB=90°，
∴∠COB=∠OAB，
又∵∠ABO=∠OCB=90°，
∴Rt△OCB∽Rt△ABO，
∴=，即OB2=OA•BC，
又OB2=BC2+OC2=t2+b2，OA=8，BC=t（t＞0），
∴t2+b2=8t，
∴（t-4）2=16-b2，
①当16-b2≥0时，解得t=4±，此时四边形DEFB是矩形，
②当16-b2＜0时，t无实数解，此时四边形DEFB不是矩形，
综上所述：当16-b2≥0时，四边形DEFB是矩形，此时t=4±，当16-b2＜0时，四边形DEFB不是矩形；
解法三：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，
在Rt△AMB中，AB2=AM2+BM2=b2+（8-t）2，
在Rt△OCB中，OB2=OC2+BC2=b2+t2，
在△OAB中，当AB2+OB2=OA2时，∠ABO=90°，则四边形DEFB为矩形，
∴b2+（8-t）2+b2+t2=82，
化简得t2-8t=-b2，配方得（t-4）2=16-b2，其余同解法二．