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如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,AE⊥CD,垂足为E,DA平分...

如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,AE⊥CD,垂足为E,DA平分∠BDE.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若∠DBC=30°,DE=1cm,求BD的长.

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(1)连接OA,根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°,故AE⊥OA,即AE是⊙O的切线; (2)根据圆周角定理,可得在Rt△AED中,∠AED=90°,∠EAD=30°,有AD=2DE;在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ABD=30°,有BD=2AD=4DE,即可得出答案. (1)证明:连接OA, ∵DA平分∠BDE, ∴∠BDA=∠EDA. ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠OAD, ∴∠OAD=∠EDA, ∴OA∥CE.(3分) ∵AE⊥DE, ∴∠AED=90°. ∴∠OAE=∠DEA=90°. ∴AE⊥OA. ∴AE是⊙O的切线.(5分) (2)【解析】 ∵BD是直径, ∴∠BCD=∠BAD=90°. ∵∠DBC=30°,∠BDC=60°, ∴∠BDE=120°.(6分) ∵DA平分∠BDE, ∴∠BDA=∠EDA=60°. ∴∠ABD=∠EAD=30°.(8分) ∵在Rt△AED中,∠AED=90°,∠EAD=30°, ∴AD=2DE. ∵在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ABD=30°, ∴BD=2AD=4DE. ∵DE的长是1cm, ∴BD的长是4cm.(10分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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