Question

已知抛物线y=x²+bx+4上有不同的两点E（k+3，0）和F（-k-1，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，抛物线y=x²+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．
（3）当k＞0且∠PMQ的边过点F时，求m、n的值．

Answer

（1）根据抛物线y=x2+bx+4上有不同的两点E（k+3，0）和F（-k-1，0），得出对称轴进而得出b的值；
（2）利用旋转的性质得出∠BCM=∠AMD，进而得出△BCM∽△AMD，即可求出n和m之间的函数关系式；
（3）根据F（-k-1，0）在上，求出k的值，进而得出①MF过M（2，2）和F（-2，0），求出直线MF的解析式，进而得出直线MF与x轴交点为（-2，0），与y轴交点为（0，1），根据若MP过点F（-2，0），则n=4-1=3，m=，若MQ过点F（-2，0），则m=4-（-2）=6，n=，再根据②MF过M（2，2）和F（-4，-8），求出m，n的值即可，
【解析】
（1）抛物线的对称轴为．
∵抛物线上不同两个点E （k+3，0）和F （-k-1，0）的纵坐标相同，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则 ，且k≠-2．
∴抛物线的解析式为．

（2）∵抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
∴AB=，AM=BM=．
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直线AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°．
∴∠BCM=∠AMD．
故△BCM∽△AMD．
∴，
即 ，
．
故n和m之间的函数关系式为（m＞0）．

（3）∵F（-k-1，0）在上，
∴，
化简得，k2-4k+3=0，
∴k1=1，k2=3．        
∵k＞0，
∴F（-2，0）或（-4，0）．     
①当MF过M（2，2）和F（-2，0），设MF为y=kx+b，
则
解得，
∴直线MF的解析式为．
直线MF与x轴交点为（-2，0），与y轴交点为（0，1）．
若MP过点F（-2，0），则n=4-1=3，m=；
若MQ过点F（-2，0），则m=4-（-2）=6，n=．
②MF过M（2，2）和F1（-4，-8），设MF为y=kx+b，
则，
解得 ；
∴直线MF的解析式为 y=x-；
直线MF与x轴交点为（ ，0），与y轴交点为（0，-）；
若MP过点F（-4，-8），则n=4-（-）=，m=；
若MQ过点F（-4，-8），则m=4-=，n=；
故当，，，时，∠PMQ的边过点F．