Question

如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP．点D是弦AB所对劣弧上的任一点（异于点A、B），过点D作DE⊥AB于点E，以点D为圆心，DE长为半径作⊙D，连接AD、BD．分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线交于点C．下列结论：
①AB=；②∠ACB为定值60°；③∠ADB=2∠ACB；④设△ABC的面积为S，若则△ABC的周长为3．
其中正确的有（ ）

A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④

Answer

①在RT△AOF中求出AF，然后可得出AB的长度；②求出AOB，然后利用圆周角的知识求出∠ADB，继而可得出∠C；③根据②的解答过程即可判断出正确与否；④根据切线的性质表示出△ABC的面积，然后根据，解出DE，继而可得出周长．
【解析】
①

由题意得，OF=、OA=1，在RT△AOF中，可得AF=，从而可得AB=2AF=，故①正确；
②由OF=OA，可得∠AOF=60°，从而∠AOB=120°，即劣弧AB=120°，优弧AB=240°，从而∠ADB=120°，
∵∠C+∠CAB+∠CBA=180°，∠ADB+（∠CAB+∠CBA）=180°，
∴解得∠C=60°，故②正确；
③根据②的证明过程可得出∠ADB=120°，∠C=60°，故可得∠ADB=2∠ACB，即③正确；
④
由①得，AB=，
∵△ABC的面积为S=（AB+AN+CN+BC）×DE=（2+2CN）×DE，
∵△ABC的面积为S，，
∴=4，，
∵DE=DN=CD，
∴CN=DE，
∴可得=4，
解得：DE=，
△ABC的周长=AB+AC+BC==4DE=故④错误．
综上可得①②③正确．
故选A．