Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是AB上的点，且DE=CE，DE⊥CE，
（1）证明：AB=AD+BC．
（2）若已知AB=a，求梯形ABCD的面积．

Answer

（1）由DE垂直于EC，得到一个角为直角，利用平角的定义得到一对角互余，又三角形BEC为直角三角形，根据直角三角形的两锐角互余得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等及DE=CE，利用AAS可得出三角形AED与三角形BCE全等，根据全等三角形的对应边相等得到AD=EB，AE=BC，由AB=AE+EB，等量代换可得证；
（2）由第一问的结论AB=AD+BC，根据AB=a，得出此直角梯形的上下底之和为a，高为a，利用梯形的面积公式即可求出梯形ABCD的面积．
【解析】
（1）证明：∵DE⊥EC，
∴∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
又AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∴∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠AED=∠BCE，
又AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠A=∠B=90°，
在△AED和△CBE中，
，
∴△AED≌△CBE（AAS），
∴AD=EB，AE=BC，
则AB=AE+EB=BC+AD；
（2）由AB=a，及（1）得：AB=BC+AD=a，
则S直角梯形ABCD=AB•（BC+AD）=a2．