Question

直角坐标系中O是原点，梯形OABC各顶点的坐标如图所示，
（1）直接写出OA所在直线的解析式；
（2）求经过O、A、C三点的抛物线解析式；
（3）试在（2）中的抛物线上找一点D，使得以D、O、C为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出D的坐标；
（4）设P点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线O→A→B向终点B运动，求从出发起运动了t秒时P点的坐标及相应t的取值范围．

Answer

（1）直线OA的解析式是y=kx，把A（3，4）代入求出k即可；
（2）经过O、A、C三点的抛物线解析式是y=a（x-0）（x-12），把A（3，4）代入求出a即可；
（3）求出抛物线的对称轴（直线x=6），根据全等得出OC=OC，A和D是对应点，根据对称的性质得出A与D关于x=6对称时，所得的三角形和△ACO全等，根据A的坐标即可求出D的坐标；
（4）求出AO、AB，分为两种情况：①当P在OA上时，根据sin∠AOC===，cos∠AOC===，求出PN=t，ON=t，即可得出答案；②当P在AB上时，即可得出P的纵坐标是4，横坐标是2t-5．
【解析】
（1）设直线OA的解析式是y=kx，
把A（3，4）代入得：k=，
∴OA所在直线的解析式是y=x．

（2）∵O（0，0），C（12，0），
∴设经过O、A、C三点的抛物线解析式是y=a（x-0）（x-12），
把A（3，4）代入得：4=a（3-0）×（3-12），
解得：a=-，
∴y=-（x-0）（x-12）=-x2+x，
答：经过O、A、C三点的抛物线解析式是y=-x2+x．

（3）∵y=-x2+x=-（x-6）2+，
∴抛物线的对称轴是直线x=6，
∵在抛物线上找一点D，使得以D、O、C为顶点的三角形与△AOC全等，A（3，4）
∴OC=OC，D于A是对应点，
∴当且仅当A、D关于直线x=6对称时，以以D、O、C为顶点的三角形才与△AOC全等，
即6-3=3，6+3=9，
∴D的坐标是（9，4）．

（4）过A作AH⊥OC于H，PN⊥OC于N，
∵A（3，4），B（11，4），
∴AB∥x轴，
∴由勾股定理得：OA=5，
分为两种情况：
①当P在OA上时，OP=2t，sin∠AOC===，cos∠AOC===，
解得：PN=t，ON=t，
∴P的坐标是（t，t）；
∵OA=5，
2t=5，
t=2.5，
∴此时t的范围是0≤t≤2.5
②当P在AB上时，P的纵坐标是4，横坐标是OH+HM=3+2（t-2.5）=2t-2，
即P的坐标是（2t-2，4），
∵11-3=8，8+5=13，13×=6.5
∴此时t的范围是2.5≤t≤6.5．