Question

如图，在直角坐标系中，⊙O的圆心O在坐标原点，直径AB=8，点P是直径AB上的一个动点（点P不与A、B两点重合），过点P的直线PQ的解析式为y=x+m，当直线PQ交y轴于Q，交⊙O于C、D两点时，过点C作CE垂直于x轴交⊙O于点E，过点E作EG垂直于y轴，垂足为G，过点C作CF垂直于y轴，垂足为F，连接DE．
（1）点P在运动过程中，sin∠CPB=______

Answer

（1）利用图象与x，y轴交点坐标得出QO=PO，从而得出∠CPB的度数，计算出sin∠CPB的值即可；
（2）利用勾股定理求出CF，FO的长度，求出矩形CEGF的面积即可；
（3）根据PC2+PD2=PD2+PE2=DE2，得出即可；
（4）分别从当点P在直径AB上时，以及当点P在线段AB的延长线上时得出CD与CM的长度关系，进而求出即可．
【解析】
（1）∵过点P的直线PQ的解析式为y=x+m，
∴图象与x轴交点坐标的为：（-m，0），图象与y轴交点坐标的为：（0，m），
∴QO=PO，∠POQ=90°，
∴∠CPB=45°，
则sin∠CPB=．
故答案为：；

（2）∵∠CPB=45°，
∴∠CQF=∠PQO=45°，
∴FC=FQ，
设FC=FQ=a，
则OF=a+3，
如图1，连接OC，
在Rt△OCF中，FC2+OF2=OC2⇒a2+（a+3）2=42⇒2a2+6a=7，
∴S四边形CEGF=CF×2FO=a×2（a+3）=7；

（3）不变．
∵AB垂直平分CE，
∴PC=PE，且∠CPB=∠EPH=45°，
∴PE⊥CD，
∴PD2+PC2=PD2+PE2=DE2，
∵∠PCH=45°，
∴=90°，
∴DO⊥EO，
∴DE=OD=4，
∴PD2+PC2=32；

（4）当点P在直径AB上时，S△PDE=PD×PE=PD×PC=4，PD×PC=8，
又∵PD2+PC2=32，
∴CD2=（PD+PC）2=32+16=48，CD=4，
如图2，当点P在AB延长线上，
同理可得：CD2=（PD-PC）2=32-16=16，
开方得：CD=4．
综上，CD的长为或4．