Question

菱形ABCD中，如果AB²=BD•AC，则∠ABC的度数是（ ）
A．60°
B．30°
C．60°或120°
D．30°或150°

Answer

首先设AB=a，由四边形ABCD是菱形，即可求得OA2+OB2=AB2=a2，又由AB2=BD•AC，易求得OA•OB=a2，继而求得OA+OB=a，则可知OA，OB是方程：x2-ax+a=0的解，继而求得OA的值，然后利用特殊角的三角函数值，求得∠ABC的度数．
【解析】
设AB=a，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC，OB=BD，
∴在Rt△AOB中，OA2+OB2=AB2=a2，
∵AB2=BD•AC=4OA•OB=a2，
∴OA•OB=a2，
∴（OA+OB）2=OA2+OB2+2OA•OB=a2+a2=a2，
∴OA+OB=a，
∴OA，OB是方程：x2-ax+a=0的解，
解得：x1=，x2=a，
当OA=a时，sin∠ABO==，
∴∠ABO=30°，
∴∠ABC=2∠ABO=60°；
当OA=a时，sin∠ABO==，
∴∠ABO=60°，
∴∠ABC=2∠ABO=120°．
∴∠ABC的度数是：60°或120°．
故选C．