Question

如图，⊙O既是正△ABC的外接圆，又是正△DEF的内切圆，则内外两个正三角形的相似比是    ．

Answer

过O作OM⊥AC于M，ON⊥BF于N，连接OC、OF，设OC=ON=R，根据等边三角形性质推出∠MCO=∠OFN=30°，求出OM、OF的值，根据勾股定理求出CM、FN，根据垂径定理求出AC、EF值，即可求出答案．
【解析】

过O作OM⊥AC于M，ON⊥BF于N，连接OC、OF，
设OC=ON=R，
∵⊙O既是正△ABC的外接圆，又是正△DEF的内切圆，
∴∠MCO=∠OFN=30°，
∵∠CMO=∠FNO=90°，
∴OM=R，OF=2R，
由勾股定理得：CM==R，
由垂径定理得：AC=2CM=R，
同理EF=2NF=2R，
即内外两个正三角形的相似比是AC：EF=1：2=，
故答案为：．