Question

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=-x²+bx+c经过点O和点P．
（1）求c，b（用t的代数式表示）；
（2）抛物线y=-x²+bx+c与直线x=1和x=5分别交于M，N两点，当t＞1时，
①在点P的运动过程中，你认为sin∠MPO的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出sin∠MPO的值；
②△MPN的面积S与t的函数关系式；
③是否存在这样的t值，使得以O，M、N，P为顶点的四边形为梯形？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线y=-x2+bx+c经过点O和点P，将O（0，0），P（t，0），代入求出c，b的值即可；
（2）①根据（1）中解析式得出M（1，t-1），得出AM=AP，∠PAM=45°即可得出sin∠MPO的大小不会变化；
②根据当1＜t≤5时以及当t＞5时，分别得出S△MPN=S△APM+S梯形ABNP-S△MBN，S△MPN=S梯形MABN+S△NBP-S△APM，求出即可；
③根据当MP∥ON时以及当MN∥OP时，分别得出t的值即可．
【解析】
（1）由题意得O（0，0），P（t，0），
代入y=-x2+bx+c，
得c=0，
-t2+bt=0，
即b=t．
即y=-x2+tx．

（2）当t＞1时，①M（1，t-1），
即AM=t-1，AP=t-1，
即AM=AP，∠PAM=45°，sin∠MPO=sin45°=是定值．
②当1＜t≤5时，N（5，5t-25），
如图1，

过点N作AM的垂线，垂足为B，
S△MPN=S△APM+S梯形ABNP-S△MBN，
=（t-1）2+（t-1+4）×（25-5t）-（t-1-5t+25）×4，
=-2t2+12t-10，
当t＞5时，如图2，

S△MPN=S梯形MABN+S△NBP-S△APM，
=（t-1+5t-25）×4+（5t-25）（t-5）-（t-1）2，
=2t2-12t+10，

③存在这样的t值，使得以O、M、N、P为顶点的四边形为梯形．
当MP∥ON时，如图3，

∵∠OPM=45°，∴∠PON=45°，
即N（5，-5），代入y=-x2+tx得-25+5t=-5．
解得t=4；
当MN∥OP时，如图4，

则M，N关于对称轴x=3对称，
即-=3，
解得：t=6．
综上，当t=4或t=6时，以O、M、N、P为顶点的四边形为梯形．