Question

某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：w=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为y （元）．
（1）求y与x之间的函数关系式，自变量x的取值范围；
（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？
（参考关系：销售额=售价×销量，利润=销售额-成本）

Answer

（1）根据销售利润y=（每千克销售价-每千克成本价）×销售量w，即可列出y与x之间的函数关系式；
（2）先利用配方法将（1）的函数关系式变形，再利用二次函数的性质即可求解；
（3）先把y=150代入（1）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．
【解析】
（1）y=w（x-20）
=（x-20）（-2x+80）
=-2x2+120x-1600，
则y=-2x2+120x-1600．
由题意，有，
解得20≤x≤40．
故y与x的函数关系式为：y=-2x2+120x-1600，自变量x的取值范围是20≤x≤40；

（2）∵y=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，
∴当x=30时，y有最大值200．
故当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；

（3）当y=150时，可得方程-2x2+120x-1600=150，
整理，得x2-60x+875=0，
解得x1=25，x2=35．
∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，∴x2=35不合题意，应舍去．
故当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．