Question

初三（04）班在一次答题活动中，签筒中有4根形状，大小相同的纸签，签里头分别写上了一个方程：
①x²-x=0；②（x-1）²-（2x-5）²=0；③x²+12x+36=0；④x²-3x-1=0．
（1）四个方程中有两个相等的实数根的方程是______（填番号即可），并解有两个相等的实数根方程；
（2）小明首先抽签，他看不到纸签上的方程的情况下，从签中随机地抽取一根纸签，那么他抽到两根均为正整数的方程的概率是______．

Answer

（1）找出四个方程中的二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出b2-4ac的值，即可得到有两个相等实数根的方程，求出此方程的解即可；
（2）方程①左边提取x，利用因式分解法求出解；方程②移项后根据两数平方相等，两数相等或互为相反数转化为两个一元一次方程来求解；方程③利用完全平方公式变形后，开方求出解；方程④利用公式法求出解，找出两解都为正整数的方程，即可求出所求的概率．
【解析】
（1）①x2-x=0，
∵a=1，b=-1，c=0，
∴b2-4ac=（-1）2-4×1×0=1＞0，
则方程有两个不相等的实数根，
方程化为x（x-1）=0，
解得：x1=0，x2=1；
②（x-1）2-（2x-5）2=0，
整理为：x2-6x+8=0，
∵a=1，b=-6，c=8，
∴b2-4ac=（-6）2-4×1×8=4＞0，
则方程有两个不相等的实数根，
方程变形为：（x-1）2=（2x-5）2，
可化为x-1=2x-5或x-1=-（2x-5），
解得：x1=2，x2=4；
③x2+12x+36=0，
∵a=1，b=12，c=36，
∴b2-4ac=122-4×1×36=0，
则方程有两个相等的实数根，
方程变形为（x+6）2=0，
解得：x1=x2=-6；
④x2-3x-1=0，
∵a=1，b=-3，c=-1，
∴b2-4ac=（-3）2-4×1×（-1）=13＞0，
则方程有两个不相等的实数根，
解得x=，
∴x1=，x2=；
四个方程中有两个相等的实数根的方程是③，其解如上所示；
（2）四个方程中两解都为正整数的方程为②，只有一个，
则抽到两根均为正整数的方程的概率P=．
故答案为：（1）③；（2）