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如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AE平分∠BAC,交BC于点E,点D在...

如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AE平分∠BAC,交BC于点E,点D在AB上,DE⊥AE,⊙O是Rt△ADE的外接圆,且交AC于点G.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若AC+GC=5,求直径AD的值.

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(1)连接OE,由OA=OE,利用等边对等角得到一对角相等,再由AE为角平分线得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行,得到AC与OE平行,再根据两直线平行同位角相等及∠C为直角,得到OE与BC垂直,可得出BC为圆O的切线; (2)过E作EF垂直于OD,连接EG,利用AAS得出△ACE≌△AFE,根据全等三角形对应边相等得到AC=AF,CE=FE,再由圆内接四边形的外角等于内对角得到一对角相等,再由一对直角相等及CE=FE,利用AAS得出△CEG≌△FED,可得出CG=FD,由AF+FD=AD,等量代换即可求出AD的长. 【解析】 (1)证明:连接OE, ∵OA=OE, ∴∠1=∠3, ∵AE平分∠BAC, ∴∠1=∠2, ∴∠2=∠3, ∴OE∥AC, ∴∠OEB=∠C=90°, 则BC为圆O的切线; (2)过E作EF⊥AB于点F,连接EG, 在△ACE和△AFE中, , ∴△ACE≌△AFE(AAS), ∴AC=AF,CE=FE, ∵∠AED=90°, ∴AD是⊙O的直径,又点D在⊙O上, ∴四边形AGED是圆内接四边形, 又∠CGE为圆内接四边形AGED的外角, ∴∠CGE=∠EDA, 在△CEG和△FED中, , ∴△CEG≌△FED(AAS), ∴CG=FD,又AC+CG=5, 则AD=AF+FD=AC+CG=5.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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