Question

某工厂现有甲种原料263千克，乙种原料314千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共100件．生产一件产品所需要的原料及生产成本如下表所示：

	甲种原料（单位：千克）	乙种原料（单位：千克）	生产成本（单位：元）
A产品	3	2	120
B产品	2.5	3.5	200

（1）该工厂现有的原料能否保证生产需要？若能，有几种生产方案？请你设计出来．
（2）设生产A、B两种产品的总成本为y元，其中生产A产品x件，试写出y与x之间的函数关系，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案总成本最底？最低生产总成本是多少？

Answer

（1）设生产A产品x件，则生产B产品（100-x）件．依题意列出方程组求解，由此判断能否保证生产．
（2）设生产A产品x件，总造价是y元，当x取最大值时，总造价最低．
【解析】
（1）假设该厂现有原料能保证生产，且能生产A产品x件，则能生产B产品（100-x）件．
根据题意，有，
解得：24≤x≤26，
由题意知，x应为整数，故x=24或x=25或x=26．
此时对应的100-x分别为76、75、74．
即该厂现有原料能保证生产，可有三种生产方案：
生产A、B产品分别为24件，76件；25件，75件；26件，74件．

（2）生产A产品x件，则生产B产品（100-x）件．根据题意可得
y=120x+200（100-x）=-80x+20000，
∵-80＜0，
∴y随x的增大而减小，从而当x=26，即生产A产品26件，B产品74件时，生产总成本最底，最低生产总成本为y=-80×26+20000=17920元．