Question

已知，如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．
（1）求过点O、B、A三点的抛物线的解析式；
（2）求AB的长；若动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标．

Answer

（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把A（10，0）、B（4，8）、C（0，8）三点代入即可求出a、b、c的值，进而得出该抛物线的解析式；
（2）作BE⊥OA与E，OE=BC=4，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB的长，作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
由OA•BE=AB•OF可求出OF及DH的长，进而可得出结论；
（3）先求出COAB的面积，由于点P的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：（i）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y），由S△APD=S梯形COAB，得OD•y=×56故可求出y的值，由S△APD=AP•DH=t×4=14求出t的值，作BG⊥OA于G，由勾股定理即可得出x的值，进而得出结论；
（ii）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y）．由S△APD=S梯形COAB，得AD•y=×56故可求出y的值，此时t=10+4+（8-）=16，由此可得出点P2的坐标．
【解析】
（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）
依题意，得，
解得，
故所求抛物线的解析式为y=-x2+x；

（2）作BE⊥OA与E，OE=BC=4，
∵在Rt△ABE中，AE=OA-OE=6，BE=OC=8，
∴AB==10．
解法一：作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
∵OA•BE=AB•OF，
∴OF==8，DH=OF=4，
∴S=AP•DH=t×4=2t（0≤t≤10）；
解法二：∵=，S△ABD=AD•BE=×5×8=20．
∴=，
∴S=2t（0≤t≤10）；

（3）点P只能在AB或OC上才能满足题意，
S梯形COAB=（BC+OA）•OC=×（4+10）×8=56，
（ⅰ）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y），
由S△APD=S梯形COAB，
得OD•y=×56，解得y=，
由S△APD=AP•DH=t×4=14，得t=7．
此时，作BG⊥OA于G，由勾股定理得（AO-x）2+y2=AP2，即（10-x）2+（）2=72，
解得x=，即在7秒时有点P1（，）满足题意；
（ⅱ）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y）．
由S△APD=S梯形COAB，得AD•y=×56，解得y=，
此时t=10+4+（8-）=16．   即在t=16秒时，有点P2（0，）满足题意；
综上，在7秒时有点P1（，），在16秒时有点P2（0，）使PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分．