Question

如图，直线l₁：y=x+1与直线l₂：相交于点P（-1，0）．直线l₁与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l₂上的点B₁处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l₁上的点A₁处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l₂上的点B₂处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l₁上的点A₂处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B₁，A₁，B₂，A₂，B₃，A₃，…，B_n，A_n，…
则当动点C到达A_n处时，运动的总路径的长为（ ）

A．n²
B．2ⁿ-1
C．2^n-1+1
D．2ⁿ⁺¹-2

Answer

由直线直线l1：y=x+1可知，A（0，1），则B1纵坐标为1，代入直线l2：y=x+中，得B1（1，1），又A1、B1横坐标相等，可得A1（1，2），则AB1=1，A1B1=2-1=1，可判断△AA1B1为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得△A1A2B2、△A2A3B3、…、都是等腰直角三角形，根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线l1、l2的解析式，分别求AB1+A1B1，A1B2+A2B2的长，得出一般规律．
【解析】
由直线直线l1：y=x+1可知，A（0，1），根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线l1、l2的解析式可知，B1（1，1），AB1=1，
A1（1，2），A1B1=2-1=1，AB1+A1B1=2，
B2（3，2），A2（3，4），A1B2=3-1=2，A2B2=4-2=2，A1B2+A2B2=2+2=4=22，
…，
由此可得An-1Bn+AnBn=2n，
所以，当动点C到达An处时，运动的总路径的长为2+22+23+..+2n=2n+1-2，
故选D．